martes, 10 de enero de 2012

LIMITES


Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
límite
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
Cálculo del límite en un punto
Cálculo del límite en un punto
Cálculo del límite en un punto
No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular límiteç, aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
función a trozos.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:límite
Por la derecha:límite
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:límite
Por la derecha:límite
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Tipos Especiales De Matrices

MATRICES ESPECIALES
Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos en este epígrafe. Concretamente, las matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y simétrica.
MATRIZ ESCALAR: Toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal.
 1  0  0
A = 0 1 0
 0  0  1
MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor.
MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0
MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.
   3+2i     i   5i
A = −4+3i −2i 3+6i
  −2+i  3+6i  −4i
MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.
A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j]
    4    3+ 2i
-3- 3i 4+ 4i
Ac = conj(A)
    4   3- 2i
-3+ 3i 4- 4i
MATRIZ IDENTIDAD: de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:
MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j
MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado por (−1)(i+j)
Un ejemplo sería el siguiente:
dada la matriz
su adjunto es
  +[(1)-(2)]  -[(−1)-(0)] +[(2)-(0)]
adj (A) = -[(−1)-(0)] +[(−2)-(0)] -[(4)-(0)]
  +[(1)-(0)]  -[(2)-(0)] +[(−2)-(1)]
MATRIZ HERMÍTICA: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica.
    3 2+i  −2i
 A= 3+4i   i 2+6i
  2–6i  3  12i
MATRIZ NULA: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
 0  0  0
A = 0 0 0
 0  0  0
MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó −1.
MATRIZ NILPOTENTE:Si A es una matriz cuadrada y 0 = k A para algún número natural , k se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 . - k A y , 0 = k A se dice que A es nilpotente de orden . k A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.
MATRIZ UNIPOTENTE: Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es unipotente si y solo si se verifica que A.A = 0n, es decir A2 = I n.

POTENCIA DE MATRICES


Potencias de matrices
 An siendo n  natural    Multiplicamos  n veces A por sí misma. 
A =(1-2)
53
A . A A2  = (-9-8)
20-1
 A2 . A A3 =(-9-8).(1-2)=(-49-6)
20-15315-43
 
EjerMatrik
potencia
()
.
()
=
()
A
A
A2
1. Introducir el
 resultado A2
-------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------
()
.
()
=
()
A2
A
A3
2.  Introducir el
resultado A3
 
 
Una matriz de Jordan es una matriz cuadrada cuyas entradas cumplen las condiciones siguientes:

- son iguales a cero en todas las entradas, exceptuando tal vez: las de la diagonal principal, y las que estén encima (e. d. una fila antes) de las entradas en la diagonal principal

- los números en la diagonal que aparezcan repetidos (a la larga, los valores propios de multiplicidad mayor que 1) están organizados consecutivamente

- son iguales a 0 ó 1 en todas las entradas que están encima de las de la diagonal principal, y formando bloques de Jordan, (es más sencillo que investigues por tu cuenta lo que esto significa)

Dada una matriz cuadrada A, existe una forma canónica de Jordan asociada a A, que es una matriz de Jordan J que cumple la condición siguiente: Existe una matriz invertible C tal que A = C⁻¹∙J∙C. Mediante esta descomposición se puede hallar la n-ésima potencia de la matriz A como sigue:

A^n = (C⁻¹∙J∙C)∙(C⁻¹∙J∙C)∙ ... ∙(C⁻¹∙J∙C) (n veces)

= C⁻¹∙J∙(C∙C⁻¹)∙J∙(C∙C⁻¹) ... ∙(C∙C⁻¹)∙J∙C

y entonces los productos intercalados se cancelan y quedaría

Aⁿ = C⁻¹∙(Jⁿ)∙C

con la ventaja de que la matriz J ya se puede elevar más fácil a la n. Para elevar J a la n, lo que se hace es descomponer la matriz en la suma de una matriz diagonal D (que la obtienes simplemente volviendo cero todos los unos que haya encima de la diagonal) y una matriz nilpotente N (que es la matriz que tiene absolutamente todo cero con excepción de los unos encima de la diagonal que le habías quitado a la otra) y de este modo se tendrá

J = D + N

De la diagonal se sabe que Dⁿ es simplemente la diagonal con las entradas no nulas elevadas a la n. De la nilpotente se tendrá que existe un k tal que N^j = 0 para todo j ≥ k. Se puede mostrar que D y N conmutan, así que puede calcularse su potencia con el binomio de Newton

(D + N)ⁿ = ... bueno, tu sabes cómo es el binomio de Newton, o si no lo averiguas.

Siempre se puede encontrar la tal matriz de Jordan esa para una matriz A dada con entradas en un cuerpo, pero método para encontrarla es demasiado extenso para exponerlo aquí. Tendrías que hallar los valores propios de la matriz, y luego sus vectores propios y luego sus vectores propios generalizados. Sin embargo muchas veces sucede que la matriz es diagonalizable; diagonalizable es cuando la forma de Jordan que da la descomposición de arriba, es simplemente diagonal y no tiene ningún 1 encima de la diagonal. Eso simplifica un tanto las cosas porque entonces ya no hay una matriz N, sino solo la D y de hecho J = D.

Por ejemplo, considera la matriz A siguiente

[ 1 1 -3]
[-1 3 -3],
[ 0 0. 3]

que es igual a

[1 0 -3][2 1 0][ 1 0 3]
[1 1 -3][0 2 0][-1 1 0] . . . . . . . . . . . . . . . . . (*)
[0 0. 1][0 0 3][ 0 0 1]

y la matriz J de la mitad es

[2 1 0]. . [2 0 0]. . [0 1 0]
[0 2 0] = [0 2 0] + [0 0 0] = D + N
[0 0 3]. . [0 0 3]. . [0 0 0]

La matriz N, al calcular N² te da 0. Entonces con eso podemos saber por ejemplo cuanto es A²º, pues se tendrá

(D + N)²º = D²º + 20∙D¹⁹∙N 

y ya no aparecen más términos, pues a partir del siguiente todos son cero gracias a que N² = 0.

Y se tiene que D²º =

[2²º . .0. . . .0]
[0 . . .2²º. . .0]
[0 . . .0 . . 3²º]

Y se tiene que D¹⁹ =

[2¹⁹ . .0 . . . 0]
[0 . . .2¹⁹. . .0]
[0 . . .0 . . 3¹⁹]

de manera que D¹⁹∙N da


[0. . . 2¹⁹ . . . 0]
[0 . . .0. . . . .0]
[0 . . .0 . . . . 0]

y así, D²º + 20∙D¹⁹∙N = 

[2¹⁹ . . . 20∙2¹⁹. . . . 0]
[0 . . . . .2¹⁹ . . . . . .0]
[0 . . . . .0 . . . . . .3¹⁹]

y entonces para hallar A²º, en la multiplicación de tres matrices (*) reemplazas la matriz de la mitad, por la que te acabo de dar, las multiplicas, y el resultado es A²º.

Así que consíguete la descomposición de Jordan de tu matriz y ya podrás elevar a la potencia que sea.

FUNCIONES POLINOMICAS


FUNCIONES POLINOMICAS
Funciones de grado mayor o igual a dos



Introducción

Anteriormente estudiamos las siguientes funciones:

f(x) = b,  función constante
f(x) = mx + b,  función lineal
f(x) = ax2 + bx + c,  donde a es diferente de cero,  función cuadrática
f(x) = ax3 + bx+ cx + d,  donde a es diferente de cero,  función cúbica


Definición:  La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 ,  donde aes diferente de cero, se conoce como una  función  polinómica  de  n  ésimo  grado.    Los números
an, an-1, ..., a1,a0  se llaman los coeficientes de la función.


Nota:  Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado.  La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.


Definición:  Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.

Ejemplo:  Considera la función f(x) = x2 - 4  ilustrada gráficamente:




Muestra que las intersecciones con el eje x en  -2  y  en 2  son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0  y  f(2) = (2)2 - 4 = 0.

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x+ 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3   y  x = 1 son las soluciones o raíces.


Nota:     Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de  y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.


División Sintética

Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema.  Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.

Ejemplos para discusión: 

 

Ejercicio de práctica:


En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de la división sintética.

Teorema del residuo:  Si  R  es el residuo después de dividir el polinomio  P(x)  entre
 x - c, entonces P(c) = R.


ElipseAnimada.gif

elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.


Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
P F_1 + P F_2 = 2a \,
donde a \, es la medida del semieje mayor de la elipse.


Ejes de una elipse

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.


Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
Elipse1.0.jpg
\varepsilon=\frac{c}{a} , con (0\le\varepsilon\le1)
Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} , también vale la relación:\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}
    =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}
o el sistema:
\begin{cases}
\varepsilon=\frac{c}{a}\\
c = \sqrt{a^2-b^2} \end{cases}
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).


Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad \varepsilon, esto es:
\alpha=\sin^{-1}(\varepsilon)=\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)=2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right);\,\!


Constante de la elipse

Ellipse Animation Small.gif
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.


Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
\varepsilon=\frac{\overline{\text{PF}}}{\overline{\text{PD}}}
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad \varepsilon de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación \varepsilon=\frac{f}{a}, también es cierto que \varepsilon=\frac{a}{d} , también es útil la fórmula d=\frac{a}{\varepsilon} .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.


Ecuaciones de la elipse


En coordenadas cartesianas


Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.


Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1


En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ), es:
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).


Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:
(501)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}
Para el otro foco:
(502)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}
"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es:
(503)r(\theta)=\frac{a (1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon \cos(\theta - \varphi)}}
El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a(1 − ε2) es el llamadosemi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.


Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
\begin{cases}
x = h+a\cos\alpha\\
y = k+b\sin\alpha \end{cases}
con \alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre α y θ es
{\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro θ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:
\begin{cases}
x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\
y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}
con \theta\in [0,2\pi). El parámetro θ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k).


Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:
\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b
Siendo a y b los semiejes.4


Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,


Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.