EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un . La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su está dentro del centro de la . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.La cantidad de cuadras que tenemos que las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
Funciones lineales:
- Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
- Todos los puntos de su gráfica están alineados.
Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de de una función de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.
igualdad de pares ordenados
En matemáticas, un par ordenado es un par (a,b) de objetos a y b tal que si (c,d) es otro par ordenado, (a,b) y (c,d) serán iguales si y solo si a = c y b = d. La idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado (a,b) se define por para todo x e y Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que
(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.
para cualesquiera a, b, c, d. Sea pues (a,b) = (c,d). Entonces
{a} = {c} y {a,b} = {c,d} o {a} = {c,d} y {a,b} = {c}.
Si a = b, todo se reduce fácilmente a a = b = c = d considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si , entonces no puede ser {a} = {c,d} y {a,b} = {c}, pues si {a,b} = {c} resulta a = b = c por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser {a} = {c} y {a,b} = {c,d}, con lo que claramente a = c, además de que b = d, pues suponer que b = c nos lleva de nuevo a a = b cuando la hipótesis dice lo contrario.
La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.
Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por
para todo x e y mostrando que en ese caso también se cumple
(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.
para cualesquiera a, b, c y d. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.
Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si y , entonces . Probar que, más generalmente, si y , entonces
1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número n de componentes, mediante la ecuación
.
1.6.3. Sean x e y dos conjuntos. El producto cartesiano de x e y es el conjunto definido por y .
Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de x y segundo componente un elemento de y.
Dados cualesquiera dos conjuntos x, y, z, tenemos
( P-1 )
( P-2 )
( P-3 )
( P-4 ) si y solo si o
( P-5 ) y si y solo si
(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.
para cualesquiera a, b, c, d. Sea pues (a,b) = (c,d). Entonces
{a} = {c} y {a,b} = {c,d} o {a} = {c,d} y {a,b} = {c}.
Si a = b, todo se reduce fácilmente a a = b = c = d considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si , entonces no puede ser {a} = {c,d} y {a,b} = {c}, pues si {a,b} = {c} resulta a = b = c por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser {a} = {c} y {a,b} = {c,d}, con lo que claramente a = c, además de que b = d, pues suponer que b = c nos lleva de nuevo a a = b cuando la hipótesis dice lo contrario.
La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.
Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por
para todo x e y mostrando que en ese caso también se cumple
(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.
para cualesquiera a, b, c y d. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.
Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si y , entonces . Probar que, más generalmente, si y , entonces
1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número n de componentes, mediante la ecuación
.
1.6.3. Sean x e y dos conjuntos. El producto cartesiano de x e y es el conjunto definido por y .
Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de x y segundo componente un elemento de y.
Dados cualesquiera dos conjuntos x, y, z, tenemos
( P-1 )
( P-2 )
( P-3 )
( P-4 ) si y solo si o
( P-5 ) y si y solo si
ALGUNOS EJERCICIOS
si el par (x+5, 3) es igual al par (9, x-1) Cunto vale "x" y cual es el par ordenado
Soluc. Dos pares ordenados son iguales sí y solo sí sus componentes abscisas (x) son iguales y sus componentes ordenadas (y) lo son también osea
( a , b ) = ( c , d ) <=> a = c ∧ b = d donde
"a" y "c" son las componentes abscisas (x)
"b" y "d" son las componentes ordenadas (y)
El símbolo ∧ significa intercepción de conjuntos ò datos y que debe EXISTIR solución OBLIGADA de cada ecuación
para el ejemplo
igualo x+5 = 9 ∧ 3 = x - 1
x = 4 ∧ 4 = x
el par ordenado es (x,y) = (9,3) y valor de "X" = 4
La "x" de este problema no tiene nad q ver con la abscisa , se podía haber usado otra letra.
Otro problemita
Si el par ordenado (2t + 5 , 3m -11) es igual al par ordenado
( t-4 , 2m + 7), Hallar éste par
Soluc
Igualo 2t + 5 = t - 4 ∧ 3m - 11 = 2m + 7
t = - 9 ∧ m = 18
par ordenado ( x , y ) = (-13 , 43 )
asi hay un garn variedad de problemas, con quebrados, con ecuaciones simultaneas de 2 varaiables etc
Soluc. Dos pares ordenados son iguales sí y solo sí sus componentes abscisas (x) son iguales y sus componentes ordenadas (y) lo son también osea
( a , b ) = ( c , d ) <=> a = c ∧ b = d donde
"a" y "c" son las componentes abscisas (x)
"b" y "d" son las componentes ordenadas (y)
El símbolo ∧ significa intercepción de conjuntos ò datos y que debe EXISTIR solución OBLIGADA de cada ecuación
para el ejemplo
igualo x+5 = 9 ∧ 3 = x - 1
x = 4 ∧ 4 = x
el par ordenado es (x,y) = (9,3) y valor de "X" = 4
La "x" de este problema no tiene nad q ver con la abscisa , se podía haber usado otra letra.
Otro problemita
Si el par ordenado (2t + 5 , 3m -11) es igual al par ordenado
( t-4 , 2m + 7), Hallar éste par
Soluc
Igualo 2t + 5 = t - 4 ∧ 3m - 11 = 2m + 7
t = - 9 ∧ m = 18
par ordenado ( x , y ) = (-13 , 43 )
asi hay un garn variedad de problemas, con quebrados, con ecuaciones simultaneas de 2 varaiables etc
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