Tipos Especiales De Matrices

MATRICES ESPECIALES

Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos en este epígrafe. Concretamente, las matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y simétrica.

MATRIZ ESCALAR: Toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal.

 1  0  0

A = 0 1 0

 0  0  1

MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor.

MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0

MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.

   3+2i     i   5i

A = −4+3i −2i 3+6i

  −2+i  3+6i  −4i

MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.

A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j]

    4    3+ 2i

-3- 3i 4+ 4i

Ac = conj(A)

    4   3- 2i

-3+ 3i 4- 4i

MATRIZ IDENTIDAD: de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:

MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j

MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado por (−1)(i+j)

Un ejemplo sería el siguiente:

dada la matriz

su adjunto es

  +[(1)-(2)]  -[(−1)-(0)] +[(2)-(0)]

adj (A) = -[(−1)-(0)] +[(−2)-(0)] -[(4)-(0)]

  +[(1)-(0)]  -[(2)-(0)] +[(−2)-(1)]

MATRIZ HERMÍTICA: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica.

    3 2+i  −2i
 A= 3+4i   i 2+6i
  2–6i  3  12i

MATRIZ NULA: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

 0  0  0

A = 0 0 0

 0  0  0

MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT

La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó −1.

MATRIZ NILPOTENTE:Si A es una matriz cuadrada y 0 = k A para algún número natural , k se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 . - k A y , 0 = k A se dice que A es nilpotente de orden . k A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.

MATRIZ UNIPOTENTE: Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es unipotente si y solo si se verifica que A.A = 0n, es decir A2 = I n.