Potencias de matrices
| An siendo n natural | Multiplicamos n veces A por sí misma. | ||||||||||||||||||||||
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- son iguales a cero en todas las entradas, exceptuando tal vez: las de la diagonal principal, y las que estén encima (e. d. una fila antes) de las entradas en la diagonal principal
- los números en la diagonal que aparezcan repetidos (a la larga, los valores propios de multiplicidad mayor que 1) están organizados consecutivamente
- son iguales a 0 ó 1 en todas las entradas que están encima de las de la diagonal principal, y formando bloques de Jordan, (es más sencillo que investigues por tu cuenta lo que esto significa)
Dada una matriz cuadrada A, existe una forma canónica de Jordan asociada a A, que es una matriz de Jordan J que cumple la condición siguiente: Existe una matriz invertible C tal que A = C⁻¹∙J∙C. Mediante esta descomposición se puede hallar la n-ésima potencia de la matriz A como sigue:
A^n = (C⁻¹∙J∙C)∙(C⁻¹∙J∙C)∙ ... ∙(C⁻¹∙J∙C) (n veces)
= C⁻¹∙J∙(C∙C⁻¹)∙J∙(C∙C⁻¹) ... ∙(C∙C⁻¹)∙J∙C
y entonces los productos intercalados se cancelan y quedaría
Aⁿ = C⁻¹∙(Jⁿ)∙C
con la ventaja de que la matriz J ya se puede elevar más fácil a la n. Para elevar J a la n, lo que se hace es descomponer la matriz en la suma de una matriz diagonal D (que la obtienes simplemente volviendo cero todos los unos que haya encima de la diagonal) y una matriz nilpotente N (que es la matriz que tiene absolutamente todo cero con excepción de los unos encima de la diagonal que le habías quitado a la otra) y de este modo se tendrá
J = D + N
De la diagonal se sabe que Dⁿ es simplemente la diagonal con las entradas no nulas elevadas a la n. De la nilpotente se tendrá que existe un k tal que N^j = 0 para todo j ≥ k. Se puede mostrar que D y N conmutan, así que puede calcularse su potencia con el binomio de Newton
(D + N)ⁿ = ... bueno, tu sabes cómo es el binomio de Newton, o si no lo averiguas.
Siempre se puede encontrar la tal matriz de Jordan esa para una matriz A dada con entradas en un cuerpo, pero método para encontrarla es demasiado extenso para exponerlo aquí. Tendrías que hallar los valores propios de la matriz, y luego sus vectores propios y luego sus vectores propios generalizados. Sin embargo muchas veces sucede que la matriz es diagonalizable; diagonalizable es cuando la forma de Jordan que da la descomposición de arriba, es simplemente diagonal y no tiene ningún 1 encima de la diagonal. Eso simplifica un tanto las cosas porque entonces ya no hay una matriz N, sino solo la D y de hecho J = D.
Por ejemplo, considera la matriz A siguiente
[ 1 1 -3]
[-1 3 -3],
[ 0 0. 3]
que es igual a
[1 0 -3][2 1 0][ 1 0 3]
[1 1 -3][0 2 0][-1 1 0] . . . . . . . . . . . . . . . . . (*)
[0 0. 1][0 0 3][ 0 0 1]
y la matriz J de la mitad es
[2 1 0]. . [2 0 0]. . [0 1 0]
[0 2 0] = [0 2 0] + [0 0 0] = D + N
[0 0 3]. . [0 0 3]. . [0 0 0]
La matriz N, al calcular N² te da 0. Entonces con eso podemos saber por ejemplo cuanto es A²º, pues se tendrá
(D + N)²º = D²º + 20∙D¹⁹∙N
y ya no aparecen más términos, pues a partir del siguiente todos son cero gracias a que N² = 0.
Y se tiene que D²º =
[2²º . .0. . . .0]
[0 . . .2²º. . .0]
[0 . . .0 . . 3²º]
Y se tiene que D¹⁹ =
[2¹⁹ . .0 . . . 0]
[0 . . .2¹⁹. . .0]
[0 . . .0 . . 3¹⁹]
de manera que D¹⁹∙N da
[0. . . 2¹⁹ . . . 0]
[0 . . .0. . . . .0]
[0 . . .0 . . . . 0]
y así, D²º + 20∙D¹⁹∙N =
[2¹⁹ . . . 20∙2¹⁹. . . . 0]
[0 . . . . .2¹⁹ . . . . . .0]
[0 . . . . .0 . . . . . .3¹⁹]
y entonces para hallar A²º, en la multiplicación de tres matrices (*) reemplazas la matriz de la mitad, por la que te acabo de dar, las multiplicas, y el resultado es A²º.
Así que consíguete la descomposición de Jordan de tu matriz y ya podrás elevar a la potencia que sea.
Les dejo un link con ejemplos de obtención de la potencia de una matriz
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